Gelijkvormige polygonen kunnen worden verdeeld
in hetzelfde aantal gelijkvormige driehoeken,
waarvan ieder gelijkvormig paar proportioneel is aan de polygonen;
en de polygonen verhouden zich tot elkaar als
de duplicate verhouding van hun corresponderende zijden.
Teken 
en 
alsmede 
en 
,
waarmee de polygonen in driehoeken worden verdeeld.
Omdat de polygonen gelijkvormig zijn, geldt:
= , en 
: 
= 
: 
.
Dus 
en zijn gelijkvormig.
En dus 
= (prop 6 uit Boek VI).
Ook geldt: 
= omdat ze hoeken zijn in gelijkvormige polygonen.
Daarom zijn de resterende hoeken 
en gelijk aan elkaar.
Nu geldt: : = : , vanwege de gelijkvormige driehoeken
en : 
= : , vanwege de gelijkvormige polygonen.
Dus : = : , ex aequali (prop 22 uit Boek V).
Daar deze proportionele zijden gelijke hoeken omvatten,
zijn de driehoeken 
en gelijkvormig (prop 6 uit Boek VI).
Op dezelfde wijze is aan te tonen dat de driehoeken 
en
gelijkvormig zijn.
Dit betekent dat verhoudt zich tot
in de duplicate verhouding van tot (prop 19 uit Boek VI).
Op dezelfde wijze verhoudt zich tot
als de duplicate verhouding van tot .
Dus : = : (prop 11 uit Boek V).
Ook verhoudt zich tot
als de duplicate verhouding van tot .
En verhoudt zich tot als
de duplicate verhouding van tot .
Dus : = : = : .
Als nu één van de voorgangers zich tot één van de oplvolgers verhoudt,
verhoudt de som van alle voorgangers zich hetzelfde tot de som van alle opvolgers.
Dat wil zeggen, de gelijkvormige driehoeken hebben tot elkaar
dezelfde verhouding als de polygonen (prop 12 uit Boek V).
Nu verhoudt zich tot
in de duplicate verhouding van tot .
Dus 
verhoudt zich tot
in de duplicate verhouding van tot .
QED