Als een lijnstuk in twee gelijke delen verdeeld is ,
en ook in twee ongelijke delen ,
zijn de vierkanten op de ongelijke delen samen
twee keer de vierkanten op het halve lijnstuk en op het middenstuk van het lijnstuk:

² + ² = 2 ⋅ ² + 2 ⋅ ².

Teken ⊥ en = of .

Teken ook en ,

// , // en .

Nu geldt: = (prop 5 uit Boek I) = een halve rechte hoek (cor prop 32 uit Boek I)

en = (prop 5 uit Boek I) = een halve rechte hoek (cor prop 32 uit Boek I).

Dus = een rechte hoek.

Verder geldt: = = = (prop 5 en prop 29 uit Boek I).

Daarom geldt: = en
= = (prop 6 en prop 34 uit Boek I).

Ook geldt: ² = ² + ² = ² + ².

Dus ² = ² + ² =
2 ⋅ ² + 2 ⋅ ² (prop 47 uit Boek I).

Hieruit volgt dat ² + ² = 2 ⋅ ² + 2 ⋅ ².

QED

vorige / volgende

Merkwaardig algebraïsch produkt:
(a + b)² + c² = 2 a² + 2 b², met a = b + c
 

Figuur propositie 9