Als een lijnstuk in twee gelijke delen verdeeld is ,
en verlengd wordt tot een willekeurig punt ,
zijn de vierkanten op het gehele verlengde lijnstuk en op het verlengstuk samen
gelijk aan de vierkanten op het halve lijnstuk en
op het lijnstuk bestaande uit de helft van de lijn en het verlengstuk:

² + ² = 2 ⋅ ² + 2 ⋅ ².

Teken ⊥ en = of .

Teken ook en

alsmede // en // (prop 31 uit Boek I).

Teken tot slot .

Nu geldt:
= (prop 5 uit Boek I) = een halve rechte hoek (cor prop 32 uit Boek I) en

= (prop 5 uit Boek I) = een halve rechte hoek (cor prop 32 uit Boek I).

Dus = een rechte hoek.

Verder geldt: = = = = = een halve rechte hoek
(prop 5, prop 29, prop 32 en prop 34 uit Boek I)

en = , = =
(prop 6 en prop 34 uit Boek I).

Daarom geldt vanwege prop 47 uit Boek I:

² = ² + ² = ² + ² en

² = ² + ² = 2 ⋅ ² + 2 ⋅ ².

Dus ² + ² = 2 ⋅ ² + 2 ⋅ ².

QED

vorige / volgende

Merkwaardig algebraïsch produkt:
(a + b + c)² + c² = 2 a² + 2 (b + c)², met a = b
 

Figuur propositie 10