In gelijke cirkels (
, 
),
staan hoeken, of ze nu op het middelpunt of de omtrek liggen,
in dezelfde verhouding tot elkaar als de bogen waarop ze staan
(
: 
= 
: 
)
Dit geldt ook voor de sectoren.
Neem op de omtrek van een aantal bogen 
, 
, enzovoort elk = .
Neem ook op de omtrek van een aantal bogen 
, 
, enzovoort elk = .
Teken de stralen naar de uiteinden van de bogen.
Daar de bogen , , , enzovoort allemaal gelijk zijn,
zijn de hoeken , 
, 
, enzovoort ook gelijk (prop 27 uit Boek III).
Dus 
is dezelfde veelvoud van als de boog 
is van .
Op dezelfde wijze is 
dezelfde veelvoud van ,
die de boog 
is van de boog .
Dan is duidelijk (prop 27 uit Boek III):
als (of m keer ) >, =, < (of n keer ),
dan (of m keer ) >, =, < (of n keer ).
Dus : = : (prop 5 uit Boek V).
Ook de hoeken op het middelpunt verhouden zich als de bogen waarop ze staan,
want de hoeken op de omtrek,
zijnde de helft van de bogen op het middelpunt (prop 20 uit Boek III),
staan in dezelfde verhouding (prop 15 uit Boek V).
Daarom verhouden ze zich als de bogen waarop ze staan.
Het is duidelijk dat de sectoren in gelijke cirkels en op gelijke bogen gelijk zijn
(prop 4 uit Boek I, prop 24, prop 27 en prop 9 uit Boek III).
Daarom, als de sectoren de hoeken in bovenstaande demonstratie vervangen,
is het tweede deel van de propositie zijn vastgesteld.
Dat betekent, in gelijke cirkels hebben de sectoren dezelfde verhouding tot elkaar als
de bogen waarop ze staan.
QED