Propositie 29 Probleem

Versie Oliver Byrne

Om een gegeven lijnstuk (blstre) zo te verlengen dat
de rechthoek omvat door de segmenten tussen de uiteinden van het gegeven lijnstuk en
het punt tot waar hij verlengd is,
gelijk is aan een gegeven oppervlak, dat gelijk is aan het vierkant op zw lijn.

 

Maak bl lijn = bl stlijn.

Teken ro stlijn bl stlijn = zw lijn.

En teken ro lijn.

Beschrijf een cirkel met straal ro lijn, die het verlengde van blstre snijdt.

 

Dan bl blst ge ge lijn + bl stlijn2 = blst ge2 (prop 6 uit Boek II) = ro lijn2.

 

Ook geldt: ro lijn2 = ro stlijn2 + bl stlijn2 (prop 47 uit Boek I).

Dus bl blst ge ge lijn + bl stlijn2 = ro stlijn2 + bl stlijn2.

 

Neem bl stlijn2 van beide.

Dan geldt: bl blst ge ge lijn = ro stlijn2.

 

Tevens geldt: ro stlijn = zw lijn.

Dus ro stlijn2 = het gegeven oppervlak.

QED

 

Oplossing van a x + x2 = c2, waarin:

  • a = rost blstre
  • x = ge stlijn
  • c = zw lijn

Figuur propositie 29a

Naar de versie van David E. Joyce la Byrne

Om een parallelogram gelijk aan een gegeven rechtlijnige figuur (figuur)
groter dan het parallellogram op de helft van het lijnstuk en gelijkvormig aan klpara,
te construeren op een gegeven lijnstuk (zwstblst).

 

Laat figuur de gegeven rechtlijnige figuur zijn,
zwstblst het gegeven lijnstuk en
klpara het parallellogram waarmee het overblijvende deel gelijkvormig moet zijn.

 

Deel zwstblst doormidden.

Beschrijf het parallellogram ropara op bl stlijn
gelijkvormig aan en hetzelfde gesitueerd als klpara.

Construeer grpara gelijk aan de som van ropara en figuur,

gelijkvormig aan en hetzelfde gesitueerd als klpara (prop 25 uit Boek VI).

Laat bl lijn corresponderen met blstdun en ro lijn met ge stlijn.

Daar grpara groter is dan ropara,

moet bl lijn ook > blstdun en ro lijn > ge stlijn.

Verleng blstdun en ge stlijn.

Maak blstdun = bl lijn en gestzwstdun = ro lijn.

Maak parare af.

Dan is parare zowel gelijk aan als gelijkvormig aan grpara
(prop 21 en prop 26 uit Boek VI).

Verder is grpara gelijkvormig aan ropara.

Daarom is ook parare gelijkvormig aan ropara.

En daarom liggen ropara en parare om dezelfde diagonaal.

Teken diag en beschrijf de figuur.

Daar grpara = ropara + figuur

en grpara = parare,

moet parare = ropara + figuur.

Haal ropara af van beide.

Dan geldt: gnomon = figuur (prop 36 en prop 43 uit Boek I).

Daar zw stlijn = bl stlijn, moet wipara = gepara1 = gepara2.

Voeg geblpara toe aan beide.

Dan geldt: gelijkpara = gnomon.

Ook geldt: gnomon = figuur.

Dus geldt: gelijkpara = figuur (prop 24 uit Boek VI).

Oftewel, het parallelogram gelijkpara = figuur op zwstblst,

met blpara gelijkvormig aan klpara, daar blpara ook gelijkvormig is met ropara.

QED

Oplossing van a x + p x2 = c2, waarin:

  • a = zwstblst
  • x = zwstdun
  • p = ro lijn : bl lijn
  • c2 = figuur

Zie ook hier

Figuur propositie 29b

vorige / volgende